El principio de Arquímedes

Cuenta la leyenda que el rey Hierón II pidió a Arquímedes de Siracusa (siglo III a.C.) que determinase la autenticidad de su corona, pues dudaba de que el orfebre al que se la había encargado utilizara únicamente oro en su elaboración. El problema era que lo tenía que hacer sin dañar la corona, por lo que determinar la densidad de una pieza tan irregular resultaba tremendamente complicado. Dicen que no paró de darle vueltas hasta que un día, al darse un baño, se dio cuenta de que el nivel del agua subía según iba metiéndose en la bañera. En seguida comprendió que de una manera similar podría hacerlo con la corona, determinando su volumen y, por tanto, su densidad. Embargado por la emoción, salió corriendo desnudo por las calles gritando ¡Eureka!, que significa “¡Lo he encontrado!“.

arquimedes1

Independientemente de que esta historia fuera cierta o no, está tan extendida que resulta casi imposible no mencionarla. De hecho, he decidido hacerlo porque la principal conclusión que podemos extraer de ella es que Arquímedes dedujo que el volumen de la corona sería el mismo que el volumen de agua desplazado, lo cual es algo tan evidente que resulta difícil creer que Arquímedes no lo supiera ya. El principio de Arquímedes, recogido en su tratado Sobre los cuerpos flotantes, no se refiere al volumen de los cuerpos sino a su peso y a la fuerza de empuje que experimentan al ser sumergidos en un fluido:

Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba equivalente al peso del fluido desalojado. 

Según el principio fundamental de la hidrostática, cuando sumergimos un cuerpo en un fluido, sobre su superficie existe una presión que aumenta con la profundidad, de modo que las fuerzas que ejerce el fluido serán mayores en la parte inferior del cuerpo, existiendo, por tanto, una fuerza resultante hacia arriba que denominamos empuje:

empuje-deduccion

Donde ρ y V son, respectivamente, la densidad y el volumen desalojado del fluido (por lo que el empuje es independiente de la forma del cuerpo), y g es la aceleración de la gravedad. Es cierto que el empuje lo ejercen todos los fluidos, aunque en los gases se manifiesta con mucha menos intensidad que en los líquidos.

empuje

La primera consecuencia que tiene la aparición de una fuerza de empuje, vertical y hacia arriba (es una fuerza ascensional), cuando un cuerpo está sumergido en un fluido, es que su peso es aparentemente menor que si no se encuentra sumergido. A este peso se le denomina peso aparente, y es la diferencia entre el peso real del cuerpo y el empuje que realiza el fluido al estar sumergido en él:

peso-aparente

  • El cuerpo se hunde si P > E, es decir, si la densidad del cuerpo es mayor que la del fluido.
  • El cuerpo flota si P < E, es decir, si la densidad del cuerpo es menor que la del fluido.
  • El cuerpo se mantiene en equilibrio, suspendido en el seno del líquido, si P = E, es decir, si sus densidades son iguales.
glacier_iceberg_under_water

En un iceberg hay un equilibrio entre el peso y la fuerza de empuje correspondiente a la parte que se encuentra sumergida.

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