Cinemática del movimiento armónico simple

Una partícula que describe un movimiento armónico simple constituye un oscilador armónico y está sometida a una fuerza restauradora que se opone al movimiento. Esta fuerza responde a la ley de Hooke, que aplicada a un muelle:

ley-hooke-expresion

ley-hooke

En esta ley, el signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora, que se opone al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y k es la constante del muelle, característica de su rigidez. Si la relacionamos con la segunda ley de Newton:

acelracion-movimiento-armonico

De esta relación se desprende un rasgo característico del movimiento armónico simple:

Cuando un cuerpo se mueve con una aceleración proporcional a su desplazamiento, pero de sentido opuesto, diremos que describe un movimiento armónico simple. 

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de x respecto a t:

ecuacion-movimiento-armonico-simple

La solución a esta ecuación diferencial puede escribirse así:

ecuacion-posicion-movimiento-armonico-simple

Simple_harmonic_motion_animation

Esta ecuación es la que describe el movimiento armónico simple, y podemos comprobar que mantiene una relación con el movimiento circular uniforme:

movimiento-circular-movimiento-armonico-simple

En estas expresiones:

  • x es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio, por lo que se mide en metros (m).
  • A es la amplitud o elongación máxima, por lo que también se mide en metros (m).
  • φ es la constante de fase, o simplemente fase, y φ0 es la fase inicial, medidas en radianes (rad).
  • ω es una constante denominada frecuencia angular (o pulsación), y tiene las mismas unidades que la velocidad angular, radianes por segundo (rad/s).

Teniendo en cuenta que se trata de un movimiento periódico, si en el tiempo t el oscilador armónico se encuentra en la posición x, cuando el tiempo t’ = t + T, su posición es x’:

periodicidad-movimiento-armonico

Considerando esta condición de igualdad de fase, la frecuencia angular será:

frecuencia-angular

Por último, las expresiones de la velocidad y la aceleración en el movimiento armónico simple se pueden obtener por derivación:

velocidad-aceleracion-movimiento-armonico-simple

velocidad-aceleracion-maximas-oscilador-armonico

En el punto de equilibrio la velocidad es máxima y la aceleración se anula, cambiando de signo y oponiéndose al movimiento. Al avanzar se va frenando, de modo que en los máximos de elongación la partícula tiene velocidad nula, y la aceleración alcanza su valor máximo forzando un cambio en el sentido de su movimiento.

Trabajando con las expresiones anteriores, pueden determinarse la fase inicial y la amplitud a partir de las condiciones iniciales (t = 0):

fase-inicial-amplitud-movimiento-armonico

Puedes trabajar todo lo anterior con estos ejercicios.

ACLARACIÓN IMPORTANTE:

ecuacion-movimiento-armonico-seno-coseno

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