La ecuación de onda

Todos los movimientos ondulatorios vienen descritos por una ecuación de onda cuya expresión general vamos a deducir a continuación. Para ello, vamos a suponer una onda unidimensional que se propaga a lo largo del eje x:

onda-sistema-referencia

La ecuación de onda debe servir para determinar las características de determinado punto del medio en cualquier instante. Es decir, ha de poderse expresar como función de las variables x y t:

ecuacion-onda-01

Si consideramos un sistema de referencia que se mueve junto con la onda, el estado de perturbación de cada punto sólo dependería de la posición, ya que para un observador situado en dicho sistema de referencia la onda se vería siempre de la misma manera en todo momento (no dependería del tiempo). En este caso:

ecuacion-onda-02.png

Si la onda se propaga a una velocidad v, el sistema de referencia que se mueve con ella se aleja del sistema de referencia fijo también a una velocidad v, por lo que la distancia que los separa en cada momento vendrá dada por el producto v·t. Si los dos sistemas coincidían en el origen (la posición inicial era la misma en ambos en el instante inicial), la relación entre x y x’ viene dada por (transformación de Galileo):

ecuacion-onda-03

Por tanto, la descripción del movimiento viene dada por:

ecuacion-onda-04.png

Como la onda tiene la misma forma para cualquier observador, la descripción de y coincidirá con la de y’. De modo, que la expresión general para el movimiento ondulatorio es:

ecuacion-onda-05

El signo negativo corresponde a una onda que se propaga en el sentido creciente del eje x, mientras que el signo positivo designa una onda viaja hacia el lado negativo del eje.

Si derivamos respecto al tiempo:

ecuacion-onda-06

Derivamos también respecto a x:

ecuacion-onda-07

Relacionando las expresiones resultantes, obtenemos la ecuación de onda para una onda unidimensional:

ecuacion-onda-08

La solución de esta ecuación diferencial para una onda armónica es:

ecuacion-onda-09.png

Esta ecuación se emplea en el estudio de los movimientos ondulatorios en los que las vibraciones satisfacen movimientos armónicos simples.

 

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