El teorema de Gauss aplicado al campo eléctrico

El teorema de Gauss es una ley fundamental del electromagnetismo que establece que el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga neta que encierra en su interior.

ley-gauss-teorema

Para llegar a esta expresión podemos comenzar por el caso más sencillo, que es el de una carga puntual positiva q situada en el centro de una esfera de radio r:

512px-Gauss_Sphere_Charge_Inside.svg.png

El flujo a través de la misma es:

Ley-gauss-superficie-esferica

Se puede comprobar que este resultado es válido para cualquier superficie cerrada, independientemente de su forma. Para ello tenemos que recurrir al concepto de ángulo sólido:

angulo-solido.png

Así, para una carga encerrada en una superficie arbitraria, el campo y el vector superficie formarán un determinado ángulo entre sí, por lo que el flujo eléctrico será:

Ley-gauss-superficie-cerrada

Este resultado es igualmente válido para cualquier distribución de cargas. En resumen, las principales consecuencias derivadas de la ley de Gauss:

  • El flujo eléctrico es proporcional a la carga neta encerrada por la superficie: cuanto mayor sea la carga encerrada, mayor será el flujo, es decir, mayor será el número de líneas de campo que atraviesan la superficie que encierra la carga.

280px-GaussLaw1.svg.png

  • El flujo eléctrico es independiente de la forma de la superficie que encierra la carga, por muy irregular que sea: el balance del número de líneas de campo que atraviesan la superficie no varía.
  • El flujo eléctrico no depende de cómo esté distribuida la carga en el interior de la superficie cerrada, pues tampoco afecta al número de líneas de campo que atraviesan la superficie.
  • Las cargas exteriores no contribuyen al flujo eléctrico: las mismas líneas de campo que entran también son las que salen, por lo que el número neto de líneas de campo que la atraviesan es cero.

280px-GaussLaw2.svg

La ley de Gauss es una herramienta muy potente para el cálculo del flujo eléctrico y, sobre todo, para el cálculo de intensidades de campo cuando las cargas que lo crean tienen un alto grado de simetría.

Algunos ejercicios de aplicación de la ley de Gauss al campo eléctrico puedes encontrarlos aquí.

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