El GPS y la relatividad

El Sistema de Posicionamiento Global o GPS (Global Positioning System) se ha convertido en una herramienta indispensable cuando viajamos, pues determina con gran precisión nuestra posición y permite que los dispositivos de navegación guíen nuestros trayectos.

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El funcionamiento de este sistema requiere:

  • Un total de 24 satélites que orbitan la Tierra a una altura aproximada de 20.200 km, que se mueven a unos 4 km/s o 14.000 km/h (su periodo es de 12 horas)
  • Un conjunto de estaciones terrestres de seguimiento y control, distribuidas por todo el mundo.
  • Los receptores de GPS de los usuarios.

Para determinar la posición de un receptor es necesario que reciba la señal de cuatro satélites distintos. La información básica que permite realizar este posicionamiento es el tiempo que tardan las señales en recorrer la distancia entre cada satélite y el receptor, por lo que resulta fundamental que los relojes sean extremadamente precisos (lo que es posible usando relojes atómicos) y que todos ellos estén sincronizados.

El centro de control debe corregir las diferentes fuentes de error que pueden afectar a las mediciones: estado de los relojes, alteraciones causadas por la atmósfera, errores en los parámetros orbitales… Pero también resulta fundamental, para asegurar la precisión, tener en cuenta los efectos relativistas sobre el sistema:

TiempoOrbital«TiempoOrbital» de Heriberto Arribas Abato - Trabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons - httpscommons.wikimedia.orgwikiFileTiempoOrbital.png#mediaFileTiempoOrbital.png

  • El efecto de la relatividad especial, debido a la velocidad del satélite respecto al receptor, atrasa los satélites 7’6 μs al día.
  • El efecto de la relatividad general, por la diferencia en el potencial gravitatorio entre el satélite y el receptor, adelanta los satélites 45’7 μs diarios.

Por tanto, si tenemos en cuenta ambos efectos, resulta que los relojes de los GPS se adelantan unas 38 millonésimas de segundo por día, que induciría un error de 11’4 km en la medida de distancias.

La necesidad de calibrar los relojes para compensar este desfase constituye, al mismo tiempo, una aplicación y una confirmación de la teoría de la relatividad.

 

Las paradojas de la relatividad

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Pocos científicos han sabido sacarle tanto partido a los experimentos mentales como Albert Einstein. Algunos de ellos, formulados como paradojas, siguen sirviendo de ejemplo para explicar los entresijos de la teoría de la relatividad y mostrar sus sorprendentes consecuencias.

Paradoja de los gemelos

Aunque Einstein la formuló usando relojes (paradoja de los relojes), hoy en día es más conocida la versión de los gemelos, que suele plantearse más o menos así:

Pedro y Enrique son dos hermanos gemelos. Pedro es astronauta y emprende un viaje a Próxima Centauri, la estrella más cercana al Sistema Solar, que se encuentra a unos 4 años luz de nosotros. Enrique se quedará en la Tierra esperando a su gemelo. A su llegada, ¿cuál de ellos habrá envejecido más?

Teniendo en cuenta la teoría de la relatividad, para Enrique, que se ha quedado en la Tierra, la enorme velocidad de la nave habrá provocado una dilatación del tiempo, de manera que su hermano Pedro habrá envejecido menos que él. Sin embargo, la cosa cambia desde el punto de vista del astronauta: según Pedro, es Enrique, en la Tierra, el que se mueve a grandes velocidades y para él habrá pasado menos tiempo. He aquí la paradoja: ¡para el gemelo que se queda en la Tierra, el gemelo astronauta envejece menos, mientras que para éste es al contrario!

Supongamos que Pedro viaja a una velocidad que es el 80% de la velocidad de la luz. Como la estrella se encuentra a unos 4 años luz de la Tierra, Enrique esperará 10 años a que vuelva su hermano (5 años en ir y otros 5 en volver). Sin embargo, para Pedro, debido a su velocidad, habrán transcurrido 6 años (3 de ida y 3 de vuelta). Ahora bien, si observamos desde la nave, Pedro no se ve en movimiento, sino que para él es la Tierra la que se mueve a gran velocidad y, por tanto, es Enrique el que está afectado por la dilatación temporal (en lugar de 6 años, para Enrique transcurren 3’6 años). ¡Ambos deberían ser más jóvenes que su hermano gemelo! ¿Cuál de las dos versiones es la correcta? Y si un observador tiene preferencia sobre otro, ¿no se contradice entonces el primer postulado de la teoría de la relatividad? 

Aquí es donde la mayoría de las veces se mete la pata: si intentas buscar por la red la paradoja de los gemelos, verás que en la mayoría de los sitios no se señala la paradoja con claridad. Suele ofrecerse de inmediato una respuesta, y no se incide en el problema de fondo. Algo que a Einstein le llevó bastante tiempo resolver.

Sin entrar en el rigor matemático, podemos decir que la situación que plantea este problema no es simétrica. Hay un detalle que hemos pasado por alto: Enrique mantiene su marco de referencia inercial en todo momento, pero Pedro no. En el viaje de ida y vuelta de la nave se están cambiando los marcos de referencia. No hay una preferencia por uno u otro marco de referencia, sino que es el de el gemelo en la Tierra el único que tiene validez. La conclusión es que Enrique tiene razón y Pedro será cuatro años más joven que él cuando regrese.

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Paradoja de la pértiga y el granero

Aunque la paradoja de los gemelos es la más conocida, no es la única. Vamos a plantear la siguiente:

Supongamos que hay un granero de 10 metros de largo, que tiene una puerta de entrada y otra en el extremo opuesto, inicialmente abiertas. Un observador situado fuera controla un dispositivo que permite cerrar y abrir estas puertas de manera instantánea y simultánea. Un corredor que se mueve a una velocidad de 240.000 km/s se dirige hacia el granero, cargando una pértiga, en posición horizontal, de 10 metros de longitud. En el momento en que el corredor entra con la pértiga en el granero el observador cierra y abre las puertas. ¿Pasará con seguridad el corredor con su pértiga a través del granero? 

Como el corredor se mueve con una velocidad que equivale a un 80% de la velocidad de la luz, desde el punto de vista del observador externo la pértiga experimenta una contracción en su longitud: para él mide 6 metros, por lo que puede ser encerrada sin problemas en el granero.

La paradoja surge cuando consideramos el punto de vista del corredor: para él, el granero es el que se contrae, y la longitud que mide es de 6 metros. Sin embargo, la pértiga comparte el marco de referencia del corredor, y mantiene su longitud propia, de 15 metros. ¿sería posible, entonces, su paso a través del granero?

La solución a esta cuestión está relacionada con la simultaneidad de sucesos. Para el observador de fuera la pértiga entra y sale sin problemas del granero y las dos puertas se cierran y se abren de manera simultánea. Sin embargo, para el corredor en movimiento, las puertas están en diferentes posiciones y no se mueven simultáneamente: la puerta trasera se cierra y se abre primero, de manera que la pértiga comienza a salir y la puerta delantera se cierra después de que el extremo de la pértiga la haya cruzado.

Los muones y la dilatación del tiempo

La dilatación del tiempo que predice la teoría de la relatividad especial es un fenómeno que se puede verificar con diversos experimentos. El primero de ellos fue realizado por Rossi y Hall en 1941, utilizando unas partículas, llamadas muones, descubiertas en 1936, que aparecen en la atmósfera cuando sobre ella inciden los rayos cósmicos de alta energía procedentes del exterior.

¿Qué son los muones?

Según la física de partículas la materia está formada por unas partículas que denominamos fermiones, entre las que distinguimos dos tipos, los quarks y los leptones. Entre los leptones encontramos el electrón, el muón y el tauón y sus tres neutrinos (electrónico, muónico y tauónico), además de sus correspondientes antipartículas (el positrón, el antimuón, el antitauón y tres antineutrinos).

Los muones son, por tanto, leptones “de segunda generación” con carga negativa, y con una masa unas 207 veces mayor que la del electrón. Su símbolo es µ. Se pueden producir muones por la colisión de la radiación cósmica con átomos a grandes alturas de la atmósfera:

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La desintegración de los muones

Los muones  al desintegrarse generan, normalmente,  un electrón, un antineutrino electrónico y un neutrino muónico:

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Cuando se estudia la desintegración muónica (decaimiento muónico), el tiempo de vida medio es de 2’2 μs. La velocidad a la que se mueven en la atmósfera es cercana a la de la luz, por lo que pueden desplazarse unos 660 metros antes de desintegrarse. En consecuencia, es improbable que lleguen a la superficie terrestre desde la grandes alturas de la atmósfera en donde se producen.

Experimento de Rossi-Hall

En el experimento original llevado a cabo por Rossi y Hall, en 1941, se registraron un promedio de 563 muones/hora a una altura de 2.000 metros, y se detectaron unos 400 muones/hora a nivel del mar. Teniendo en cuenta el tiempo de vida media y la velocidad de los muones se esperaban unos 25 muones/hora en la superficie terrestre. ¡Se encontraron muchísimos más muones de los esperados!

El fenómeno de la dilatación del tiempo explica este efecto. Mientras que para un observador ligado al muón el tiempo de vida media es un tiempo propio, para un observador en la superficie terrestre el tiempo entre la formación y la desintegración del muón será mayor. Suponiendo una velocidad de 0’995·c, el tiempo se multiplica por 10:

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En estas condiciones, la distancia que son capaces de recorrer antes de desintegrarse resulta ser de 6.600 metros, lo que significa que, bajo los supuestos relativistas, la mayor parte de los muones sí pueden alcanzar la superficie terrestre antes de que decaigan en otras partículas.

Experimentos más sofisticados y precisos llevados a cabo con posterioridad (alguno de ellos en el CERN) confirmaron este experimento y llegaron a determinar que la vida media de los muones en movimiento llegaba a ser aproximadamente 30 veces más que la de un muon inmóvil.

La sorprendente dilatación del tiempo predicha por la relatividad queda confirmada.

Reading: The Theory of Special Relativity

The speed of light, represented by the symbol c, is 300 000 000 m/s (meters per second) in a vacuum. If light could travel around Earth’s equator, it would make over 7 trips each second! The very great speed of light makes it dificult to measure changes in the speed of light caused by motion of frames of reference that are familiar to you on Earth.

In the early part of the 20th century, Einstein showed that light does not obey the laws of speed addition that we have seen in objects on Earth’s surface. His theory predicted that light traveled at the same speed in all frames of reference, no matter how fast the frames were moving relative to one another.

As a young clerk in the Swiss patent office, Albert Einstein postulated that the speed of light in a vacuum is the same for all observers. Einstein recognized that light and other forms of electromagnetic radiation (including x – rays, microwaves, and ultraviolet waves) could not be made to agree with the laws of relative motion seen on Earth. Einstein modified the ideas of relativity to agree with the theory of electromagnetic radiation. When he did, he uncovered consequences that have changed the outlook of not only physics but the world.

The ideas of Einstein’s Theory of Special Relativity are stated in two postulates:

  • The laws of physics are the same in all inertial frames of reference. (Remember that inertial frames of reference are those in which Newton’s First Law of Motion holds. This automatically eliminates frames of reference that are accelerating.)
  • The speed of light is a constant in all inertial frames of reference.

The first postulate adds electromagnetism to the frames of reference discussed. Its implications become clear when you begin to ask questions. Is the classroom moving or standing still? How do you know? Remember that an observer in an inertial frame of reference is sure that he or she is standing still. An observer in an airplane would be convinced that he or she is standing still and that your classroom is moving. The meaning of the first postulate is that there is no experiment you can do that will tell you who is really moving.

The second postulate, however, produces results that seem to defy common sense. You can add speeds of objects in inertial frames of reference. But you cannot add the speed of light in motion of an inertial frame of reference.

Physicists say that two events are simultaneous if a light signal from each event reaches an observer standing halfway between them at the same instant. These postulates lead to the idea that simultaneity depends on the observer. You cannot say whether two events in different places occurred at the same time unless you know the position of the observer.

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Introducción a la teoría general de la relatividad

Einstein enuncia, en 1905, su teoría de la relatividad especial o restringida. Una teoría brillante pero limitada: sólo se puede aplicar a sistemas de referencia inerciales. Pero, ¿qué ocurre en aquellos sistemas de referencia no inerciales, es decir, acelerados?

Principio de equivalencia

En 1907, dos años después de la publicación de la teoría de la relatividad especial, Einstein se sobresaltó con un pensamiento: si una persona cae libremente, ¡no sentiría su propio peso! Esta idea la calificó posteriormente como “la más feliz” de su vida, y le llevó a formular el principio de equivalencia entre aceleración y gravedad.

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Lo dicho antes se asume perfectamente si nos imaginamos en un ascensor, al que cortamos los cables: nos encontraremos de repente en caída libre y todos los objetos que llevemos caen afectados por la misma aceleración que nosotros, por lo que no los veríamos caer, sino que veríamos como flotan en una situación de “ingravidez”.

Principio de equivalencia: Un sistema inmerso en un campo gravitatorio es localmente indistinguible de un sistema no inercial acelerado.

La consecuencia de este experimento mental fue trascendental para Einstein: ¡el principio de relatividad también es válido para movimientos acelerados!

¿Qué es la gravedad?

Einstein tardó otros ocho años en dar forma y consistencia matemática a la teoría general de la relatividad. Ésta reformulaba la gravedad basándose en una nueva noción: el espacio-tiempo se deforma y se curva en presencia de una masa, lo cual modifica las trayectorias de los objetos que se mueven en él.

La materia le dice al espacio cómo curvarse; el espacio le dice a la materia cómo moverse. [J. A. Wheeler]

Esto tiene consecuencias impresionantes, como que la luz procedente de estrellas lejanas se desviaría al pasar cerca del Sol. Este hecho pudo comprobarse experimentalmente en 1919, en una expedición organizada a tal fin durante un eclipse lunar total. La repercusión científica, mediática y social elevó a Einstein a los altares de la Física y de la cultura del siglo XX.

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En 2015, la teoría de la relatividad general cumplió ¡100 años!