La carga del electrón: el experimento de Millikan

A finales del siglo XIX, el científico británico Joseph John Thomson había demostrado la existencia de lo que hoy conocemos como electrón y pudo establecer la relación entre su carga y su masa analizando la desviación que estas partículas experimentaban cuando se movían en el seno de un campo electromagnético:

relacion-carga-masa-electron-thomson

Relación entre carga y masa del electrón calculada por Thomson

Sin embargo, aunque lo intentó, Thomson no consiguió determinar ni la masa ni la carga del electrón (al menos de forma precisa). Tuvieron que pasar más de diez años hasta que el estadounidense Robert Andrews Millikan, discípulo de Michelson en la Universidad de Chicago, publicara los resultados de los experimentos con los que consiguió determinar, con bastante exactitud (el error era del 1 %), la carga del electrón:

carga-electron-millikan

Carga del electrón calculada por Millikan

Para llegar a ello, Millikan utilizó una versión de la cámara de niebla que Thomson, el que fuera su director de tesis en Europa, estaba utilizando con el mismo propósito. Con este dispositivo se conseguía nebulizar e ionizar una pequeña cantidad de agua, de modo que el estudio de su comportamiento en presencia de campos eléctricos permitiría calcular la carga de la nube y, en función del número de gotas, deducir la carga elemental del electrón. Sin embargo, tanto Thomson como Millikan fracasaron en sus primeros intentos ya que el agua se evaporaba con facilidad. La suerte estuvo de la mano de Millikan cuando éste coincidió con Rutherford en un congreso celebrado en su universidad, quien le advirtió, además, del inconveniente que suponía realizar el estudio de la nube de agua completa, siendo más acertado centrar el interés en el movimiento individual de cada una de las gotas en suspensión.

Millikan decidió, entonces, utilizar aceite en lugar de agua, de ahí que dicho experimento sea habitualmente conocido como el experimento de las gotas de aceite. En la cámara, el aceite se dispersaba en minúsculas gotas que descendían en el seno de un gas ionizado con rayos X. Un cierto número de los electrones formados en la ionización se adherían a las gotitas, por lo que adquirían una carga negativa que era un múltiplo entero de la carga del electrón. Estas gotitas se hacían pasar entre dos placas entre las cuales se generaba una diferencia de potencial que provocaba una campo eléctrico uniforme (en esencia, este montaje constituye un condensador plano). En consecuencia, una fuerza eléctrica actuaba sobre las gotitas, frenando su movimiento de descenso, de manera que del estudio de este equilibrio de fuerzas podía deducirse la carga de cada gotita. Como ésta siempre era un múltiplo entero pequeño de la carga del electrón, una vez conocida la carga de varias gotitas podía estimarse la carga correspondiente a un solo electrón.

experimento-millikan

En ausencia de campo eléctrico, el descenso de la gota está provocado por la fuerza de la gravedad, aunque debe considerarse el empuje que ejerce el aire, por lo que en realidad debemos tener en cuenta su peso aparente, es decir, el peso de la gota menos el peso del aire que desaloja:

Millikan-peso-aparente-gota

Debido a la resistencia del aire, la partícula alcanza una velocidad terminal que no varía, es decir, se desplaza sin aceleración. Si consideramos las gotitas como partículas esféricas que se mueven a través de un fluido, la fuerza de fricción viene descrita por la ley de Stokes:

Millikan-fuerza-rozamiento-friccion-stokes

Igualando ambas fuerzas, podemos obtener sendas expresiones que nos permiten calcular el radio de la gota o bien la velocidad terminal a la que se mueve:

Millikan-velocidad-terminal-radio-gota

Si luego aplicamos un campo eléctrico, aparece una fuerza eléctrica que se opone al movimiento de caída de la gota. Si la intensidad del campo es tal que la fuerza eléctrica compensa la fuerza de la gravedad:

Millikan-equilibrio-peso-fuerza-electrica

Hemos obtenido una expresión que nos permite determinar la carga total adquirida por la gota (habiendo calculado previamente su radio), ya que las densidades y la intensidad del campo eléctrico son conocidos. Al ser esta carga una, dos, tres… veces la carga del electrón, realizando mediciones en diferentes gotas, podemos deducir cual es el valor de la carga elemental.

Otra opción consiste en aplicar un campo eléctrico de mayor intensidad, en cuyo caso la gota experimentaría un movimiento ascendente:

Millikan-ascenso-gota-campo-electrico

En este caso, la expresión de la velocidad obtenida para el movimiento ascendente (cuando el campo es lo suficientemente intenso) puede relacionarse con la que habíamos obtenido previamente para la velocidad en el movimiento descendente (en ausencia de campo eléctrico), lo que nos proporciona la información necesaria para estimar su carga, que siempre será un múltiplo de la carga del electrón.

Millikan obtuvo el Premio Nobel de Física en 1923, sobre todo por este trabajo. No obstante, siempre se le reprocha que no haya valorado la contribución de algunos colaboradores al experimento, ni reconocido su importancia en el éxito del mismo.

 

El teorema de Gauss aplicado al campo eléctrico

El teorema de Gauss es una ley fundamental del electromagnetismo que establece que el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga neta que encierra en su interior.

ley-gauss-teorema

Para llegar a esta expresión podemos comenzar por el caso más sencillo, que es el de una carga puntual positiva q situada en el centro de una esfera de radio r:

512px-Gauss_Sphere_Charge_Inside.svg.png

El flujo a través de la misma es:

Ley-gauss-superficie-esferica

Se puede comprobar que este resultado es válido para cualquier superficie cerrada, independientemente de su forma. Para ello tenemos que recurrir al concepto de ángulo sólido:

angulo-solido.png

Así, para una carga encerrada en una superficie arbitraria, el campo y el vector superficie formarán un determinado ángulo entre sí, por lo que el flujo eléctrico será:

Ley-gauss-superficie-cerrada

Este resultado es igualmente válido para cualquier distribución de cargas. En resumen, las principales consecuencias derivadas de la ley de Gauss:

  • El flujo eléctrico es proporcional a la carga neta encerrada por la superficie: cuanto mayor sea la carga encerrada, mayor será el flujo, es decir, mayor será el número de líneas de campo que atraviesan la superficie que encierra la carga.

280px-GaussLaw1.svg.png

  • El flujo eléctrico es independiente de la forma de la superficie que encierra la carga, por muy irregular que sea: el balance del número de líneas de campo que atraviesan la superficie no varía.
  • El flujo eléctrico no depende de cómo esté distribuida la carga en el interior de la superficie cerrada, pues tampoco afecta al número de líneas de campo que atraviesan la superficie.
  • Las cargas exteriores no contribuyen al flujo eléctrico: las mismas líneas de campo que entran también son las que salen, por lo que el número neto de líneas de campo que la atraviesan es cero.

280px-GaussLaw2.svg

La ley de Gauss es una herramienta muy potente para el cálculo del flujo eléctrico y, sobre todo, para el cálculo de intensidades de campo cuando las cargas que lo crean tienen un alto grado de simetría.

Algunos ejercicios de aplicación de la ley de Gauss al campo eléctrico puedes encontrarlos aquí.

El flujo eléctrico

Cuando representamos un campo eléctrico mediante líneas de fuerza tenemos que tener en cuenta que la intensidad del mismo será mayor cuanto más numerosas y próximas se encuentren las líneas. La magnitud física que relaciona el número de líneas de fuerza que atraviesan una determinada superficie se denomina flujo eléctrico.

Se define el flujo del campo eléctrico como el producto escalar del vector intensidad de campo por el vector superficie .

flujo-electrico

El vector superficie se caracteriza por:

  • Módulo: es el área de la superficie.
  • Dirección: es perpendicular a la superficie.
  • Sentido: arbitrario, pero fijo, si la superficie es plana; si no es plana, va dirigido de la zona cóncava hacia la zona convexa.

Se puede considerar que el flujo eléctrico es el producto del módulo de la intensidad de campo por la proyección de la superficie sobre el plano normal a la dirección del mismo:

flujo-electrico-2

flujo-campo-electrico

Si consideramos una superficie elemental dS, se puede definir el flujo elemental del campo como:

flujo-campo-elemental

flujo-elemental-campo-electrico

Si la superficie es finita se calcula el flujo mediante la integral extendida a toda la superficie:

flujo-campo-superficie

El campo eléctrico creado por distribuciones continuas de cargas

En entradas anteriores hemos estudiado la fuerza electrostática mediante la ley de Coulomb y la intensidad del campo eléctrico cuando tenemos una distribución discreta (finita) de cargas puntuales. Cuando tenemos una distribución continua de cargas debemos considerar las variaciones infinitesimales del campo eléctrico que se producen en el espacio debidas a las variaciones infinitesimales de la distribución continua de carga:

campo-electrico-distribucion-continua-cargas

Esta es la expresión general que nos permite determinar el campo eléctrico en cualquier situación. Para estudiar cómo se distribuye la carga en el espacio definimos la densidad volumétrica de carga:

densidad-volumetrica-carga

Si en lugar de una distribución espacial tenemos una distribución en un plano, podemos definir la densidad superficial de carga:

densidad-superficial-carga

Y en el caso de distribuciones de carga lineales se define la densidad lineal de carga:

densidad-lineal-carga

Teniendo en cuenta estas expresiones resulta relativamente sencillo calcular el campo eléctrico debido a distribuciones de carga que presentan una simetría simple.

Campo eléctrico creado por una carga lineal finita

Vamos a considerar una carga uniforme Q distribuida uniformemente a lo largo del eje x, con una longitud L. El caso más sencillo es aquel en el que calculamos el campo eléctrico en un punto situado en el eje x:

campo-electrico-distribucion-lineal-eje

Puedes comprobar que cuando el punto está muy alejado, es decir, si xP >> L, la carga se comporta como si fuera puntual (el segundo término del denominador puede despreciarse y el campo eléctrico resulta ser el que esperaríamos para una carga Q puntual).

Aunque es un poco más laborioso, también podemos calcular el campo eléctrico debido a una carga lineal uniforme de longitud L en un punto P exterior situado en su mediatriz. En este caso, el campo tiene una componente paralela a la carga lineal y otra perpendicular a ésta. Sin embargo, dada la simetría de la distribución cuando sumemos todos los elementos de carga de la línea, los componentes paralelos se anularán y el campo estará dirigido a lo largo del eje y:

campo-electrico-distribucion-lineal-mediatriz

Vemos que si consideramos un punto muy alejado, y >> L , una carga lineal finita se comporta como una carga puntual.

Si calculamos el campo eléctrico en un punto P arbitrario, exterior a la carga lineal, no necesariamente en su mediatriz, el proceso es similar a la hora de calcular la componente en el eje y:

campo-electrico-distribucion-lineal-punto-exterior

Campo eléctrico creado por una carga lineal infinita

Si se considera un punto del campo muy próximo a una carga lineal o, alternativamente, la carga lineal es de gran longitud:

campo-electrico-distribucion-lineal-infinita

Campo eléctrico sobre el eje de una carga anular

Consideramos un anillo de radio a con una carga Q uniforme. Deseamos determinar el campo eléctrico en un punto P del eje del anillo a una distancia  del centro del mismo. El campo  eléctrico tendrá una componente dirigida a lo largo del eje del anillo y otra perpendicular a éste.

A partir de la simetría de la figura vemos que el campo resultante debido al anillo entero estará dirigido a lo largo de su eje; la suma de las componentes perpendiculares es nula y la componente axial del campo debido al elemento de carga será:

campo-electrico-anillo-eje

Campo eléctrico en el eje de un disco uniformemente cargado

Podemos suponer que el disco, de radio R y carga total Q, está constituido por una serie de cargas anulares concéntricas. Por simetría, el campo eléctrico  estará dirigido a lo largo del eje x:

campo-electrico-disco-eje.png

Campo eléctrico en las proximidades de un plano infinito

A partir de la ecuación anterior:

campo-electrico-plano-infinito

El campo debido a una distribución de carga en un plano infinito es constante, no depende de x. Sin embargo, presenta una discontinuidad: para valores negativos de x, al otro lado del plano, el campo será negativo.