Introducción a la teoría general de la relatividad

Einstein enuncia, en 1905, su teoría de la relatividad especial o restringida. Una teoría brillante pero limitada: sólo se puede aplicar a sistemas de referencia inerciales. Pero, ¿qué ocurre en aquellos sistemas de referencia no inerciales, es decir, acelerados?

Principio de equivalencia

En 1907, dos años después de la publicación de la teoría de la relatividad especial, Einstein se sobresaltó con un pensamiento: si una persona cae libremente, ¡no sentiría su propio peso! Esta idea la calificó posteriormente como “la más feliz” de su vida, y le llevó a formular el principio de equivalencia entre aceleración y gravedad.

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Lo dicho antes se asume perfectamente si nos imaginamos en un ascensor, al que cortamos los cables: nos encontraremos de repente en caída libre y todos los objetos que llevemos caen afectados por la misma aceleración que nosotros, por lo que no los veríamos caer, sino que veríamos como flotan en una situación de “ingravidez”.

Principio de equivalencia: Un sistema inmerso en un campo gravitatorio es localmente indistinguible de un sistema no inercial acelerado.

La consecuencia de este experimento mental fue trascendental para Einstein: ¡el principio de relatividad también es válido para movimientos acelerados!

¿Qué es la gravedad?

Einstein tardó otros ocho años en dar forma y consistencia matemática a la teoría general de la relatividad. Ésta reformulaba la gravedad basándose en una nueva noción: el espacio-tiempo se deforma y se curva en presencia de una masa, lo cual modifica las trayectorias de los objetos que se mueven en él.

La materia le dice al espacio cómo curvarse; el espacio le dice a la materia cómo moverse. [J. A. Wheeler]

Esto tiene consecuencias impresionantes, como que la luz procedente de estrellas lejanas se desviaría al pasar cerca del Sol. Este hecho pudo comprobarse experimentalmente en 1919, en una expedición organizada a tal fin durante un eclipse lunar total. La repercusión científica, mediática y social elevó a Einstein a los altares de la Física y de la cultura del siglo XX.

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En 2015, la teoría de la relatividad general cumplió ¡100 años!

El espacio-tiempo de Minkowski

La teoría de la relatividad especial fue dotada en 1907 de una estructura geométrica por Hermann Minkowski, que unificó los conceptos de espacio y tiempo en una única realidad tetradimensional, el espacio – tiempo, dando el mismo tratamiento matemático a las tres coordenadas espaciales que a la dimensión temporal (que en mecánica clásica se consideraban independientes y separadas).

En la física clásica el tiempo es independiente de la posición y del estado de movimiento del sistema de referencia. Sin embargo, la relatividad establece un continuo tetradimensional en el que cada punto, denominado suceso o evento, se describe mediante tres coordenadas espaciales y una coordenada temporal.

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Esta estructura fue adoptada por Einstein en su estudio del movimiento de los cuerpos en los campos gravitatorios, que describe en su teoría general de la relatividad.

La teoría de la relatividad especial

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El esfuerzo de Einstein por conciliar el principio de relatividad y la electrodinámica le llevó a elaborar, en 1905 (en su artículo Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento), una teoría sustentada por dos postulados fundamentales:

Primer postulado. Todas las leyes de la Física son invariantes respecto a las transformaciones entre sistemas de referencia inerciales.

Segundo postulado. La velocidad de la luz en el vacío es siempre la misma para cualquier sistema de referencia inercial.

El primero se conoce como principio de la relatividad especial, que extiende el principio de la relatividad a todas las leyes físicas, no sólo a las de la mecánica. Su consecuencia más inmediata es que obliga a desterrar la idea de un movimiento absoluto. Sólo pueden observarse en la naturaleza los movimientos relativos de unos sistemas respecto a otros.

El segundo principio, el de la constancia de la velocidad de la luz (en el vacío es 299 792458 m/s), se desprende directamente de las ecuaciones de Maxwell. Destierra la idea del éter, pues la luz no podría tener la misma velocidad con respecto a un sistema de referencia en el cual el éter estuviera en reposo, que respecto de otro en el que estuviera en movimiento.

Los postulados de Einstein distaban de ser, como los de Euclides, suposiciones que, de puro obvias, se aceptaban sin rechistar. Su autoridad se basaba en evidencias experimentales, y sus implicaciones comunes resultan sorprendentes y contradicen lo que normalmente denominamos sentido común.

Simultaneidad de sucesos

Hasta la aparición de la teoría especial de la relatividad nadie había pensado que pudiera existir ambigüedad en la afirmación de que dos sucesos en lugares diferentes sucedían al mismo tiempo. Se podía admitir que si los lugares estaban muy alejados hubiese dificultad en averiguar si los dos sucesos eran simultáneos. Pero todos creían que el significado de la cuestión era muy concreto. Resultaba, sin embargo, que era un error. ¿Cómo decidiríamos nosotros si dos hechos en diferentes lugares fueron simultáneos? Uno diría, naturalmente: son simultáneos si son vistos simultáneamente por una persona que está situada a igual distancia de los dos.

Supongamos que hay dos estrellas gemelas en el espacio y un astronauta está viajando a lo largo de la línea que va de una a otra. Nosotros estamos en un punto de la mediatriz de esa línea, por lo que nos separa la misma distancia de ambas. Cuando el astronauta está a mitad de camino, de repente, las dos estrellan explotan. Como nosotros estamos a la misma distancia veremos a la vez la luz procedente de las dos estrellas, es decir, que para nosotros las dos han explotado al mismo tiempo, han sido dos sucesos simultáneos. Sin embargo, como el astronauta está viajando de la primera estrella a la segunda, percibirá primero la luz que procede de ésta, por lo que para él las dos explosiones no se han producido simultáneamente.

Según esto, si dos sucesos son simultáneos en un sistema de referencia, no lo serán en cualquier otro sistema que se mueva respecto al primero. Es decir, el tiempo no transcurre de la misma manera en todos los sistemas de referencia inerciales. Incluso, puede ocurrir que para un observador el orden de los sucesos ¡esté invertido! con respecto al de otro observador (siempre y cuando éstos sean independientes, pues si no se violaría el principio de causalidad, según el cual la causa siempre precede al efecto).

Dilatación del tiempo

Como se acaba de ver, el tiempo no es absoluto, sino que depende del sistema de referencia. A partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz se puede demostrar que el intervalo de tiempo, medido en un sistema de referencia respecto al cual el punto en el que ocurren los acontecimientos se está moviendo, es mayor que respecto a un sistema de referencia ligado a dicho punto:

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Este crecimiento se denomina dilatación del tiempo y el intervalo de tiempo en el sistema ligado al punto móvil (Δt0) se llama tiempo propio. Los efectos relativistas sólo son observables para velocidades extremadamente altas: para detectar diferencias del 5 % entre medidas realizadas por dos observadores, uno en reposo y otro en movimiento, haría falta que éste se moviese a una velocidad de más de 90.000 km/s.

Este extraño comportamiento ha sido comprobado en numerosos experimentos posteriores (como el llevado a cabo por Rossi y Hall en 1941) y es la clave para resolver las aparentes paradojas que se plantean en la relatividad (la más conocida es la paradoja de los gemelos).

La contracción de la longitud

Un fenómeno estrechamente relacionado con la dilatación del tiempo es la contracción de longitudes. La longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo se denomina longitud propia (l0). En un sistema de referencia en el que el objeto se está movimiento, la longitud medida es más corta que su longitud propia. Al igual que antes, se puede deducir, entonces:

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Esta expresión se conoce como contracción de Lorentz – Fitzgerald, ya que ellos la habían planteado previamente como solución al experimento de Michelson – Morley.

El valor heurístico de la teoría de la relatividad

La experiencia había llevado a la convicción de que el principio de la relatividad era válido y, por otro lado, que la velocidad de propagación de la luz era una constante. La unión de estos dos postulados nos permitió concluir que, cuando pasamos de un sistema de referencia S definido por las variables x, y, z y t a otro sistema de coordenadas S’ definido por las variables x’, y’, z’ y t’, todas las leyes de la naturaleza deben comportarse de la misma manera, y la relación matemática que permite relacionar estos dos sistemas de variables viene dada por las transformaciones de Lorentz.

Se trata de una condición matemática precisa que la teoría de la relatividad prescribe a las leyes naturales, con lo cual se convierte en un valioso instrumento heurístico para la búsqueda de leyes generales de la naturaleza. Si se encontrase una ley general de la naturaleza que no cumpliera esa condición, quedaría refutado por lo menos uno de los dos supuestos fundamentales de la teoría.