El teorema de Gauss aplicado al campo eléctrico

El teorema de Gauss es una ley fundamental del electromagnetismo que establece que el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga neta que encierra en su interior.

ley-gauss-teorema

Para llegar a esta expresión podemos comenzar por el caso más sencillo, que es el de una carga puntual positiva q situada en el centro de una esfera de radio r:

512px-Gauss_Sphere_Charge_Inside.svg.png

El flujo a través de la misma es:

Ley-gauss-superficie-esferica

Se puede comprobar que este resultado es válido para cualquier superficie cerrada, independientemente de su forma. Para ello tenemos que recurrir al concepto de ángulo sólido:

angulo-solido.png

Así, para una carga encerrada en una superficie arbitraria, el campo y el vector superficie formarán un determinado ángulo entre sí, por lo que el flujo eléctrico será:

Ley-gauss-superficie-cerrada

Este resultado es igualmente válido para cualquier distribución de cargas. En resumen, las principales consecuencias derivadas de la ley de Gauss:

  • El flujo eléctrico es proporcional a la carga neta encerrada por la superficie: cuanto mayor sea la carga encerrada, mayor será el flujo, es decir, mayor será el número de líneas de campo que atraviesan la superficie que encierra la carga.

280px-GaussLaw1.svg.png

  • El flujo eléctrico es independiente de la forma de la superficie que encierra la carga, por muy irregular que sea: el balance del número de líneas de campo que atraviesan la superficie no varía.
  • El flujo eléctrico no depende de cómo esté distribuida la carga en el interior de la superficie cerrada, pues tampoco afecta al número de líneas de campo que atraviesan la superficie.
  • Las cargas exteriores no contribuyen al flujo eléctrico: las mismas líneas de campo que entran también son las que salen, por lo que el número neto de líneas de campo que la atraviesan es cero.

280px-GaussLaw2.svg

La ley de Gauss es una herramienta muy potente para el cálculo del flujo eléctrico y, sobre todo, para el cálculo de intensidades de campo cuando las cargas que lo crean tienen un alto grado de simetría.

Algunos ejercicios de aplicación de la ley de Gauss al campo eléctrico puedes encontrarlos aquí.

El flujo eléctrico

Cuando representamos un campo eléctrico mediante líneas de fuerza tenemos que tener en cuenta que la intensidad del mismo será mayor cuanto más numerosas y próximas se encuentren las líneas. La magnitud física que relaciona el número de líneas de fuerza que atraviesan una determinada superficie se denomina flujo eléctrico.

Se define el flujo del campo eléctrico como el producto escalar del vector intensidad de campo por el vector superficie .

flujo-electrico

El vector superficie se caracteriza por:

  • Módulo: es el área de la superficie.
  • Dirección: es perpendicular a la superficie.
  • Sentido: arbitrario, pero fijo, si la superficie es plana; si no es plana, va dirigido de la zona cóncava hacia la zona convexa.

Se puede considerar que el flujo eléctrico es el producto del módulo de la intensidad de campo por la proyección de la superficie sobre el plano normal a la dirección del mismo:

flujo-electrico-2

flujo-campo-electrico

Si consideramos una superficie elemental dS, se puede definir el flujo elemental del campo como:

flujo-campo-elemental

flujo-elemental-campo-electrico

Si la superficie es finita se calcula el flujo mediante la integral extendida a toda la superficie:

flujo-campo-superficie