El teorema de Gauss aplicado al campo eléctrico

El teorema de Gauss es una ley fundamental del electromagnetismo que establece que el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga neta que encierra en su interior.

ley-gauss-teorema

Para llegar a esta expresión podemos comenzar por el caso más sencillo, que es el de una carga puntual positiva q situada en el centro de una esfera de radio r:

512px-Gauss_Sphere_Charge_Inside.svg.png

El flujo a través de la misma es:

Ley-gauss-superficie-esferica

Se puede comprobar que este resultado es válido para cualquier superficie cerrada, independientemente de su forma. Para ello tenemos que recurrir al concepto de ángulo sólido:

angulo-solido.png

Así, para una carga encerrada en una superficie arbitraria, el campo y el vector superficie formarán un determinado ángulo entre sí, por lo que el flujo eléctrico será:

Ley-gauss-superficie-cerrada

Este resultado es igualmente válido para cualquier distribución de cargas. En resumen, las principales consecuencias derivadas de la ley de Gauss:

  • El flujo eléctrico es proporcional a la carga neta encerrada por la superficie: cuanto mayor sea la carga encerrada, mayor será el flujo, es decir, mayor será el número de líneas de campo que atraviesan la superficie que encierra la carga.

280px-GaussLaw1.svg.png

  • El flujo eléctrico es independiente de la forma de la superficie que encierra la carga, por muy irregular que sea: el balance del número de líneas de campo que atraviesan la superficie no varía.
  • El flujo eléctrico no depende de cómo esté distribuida la carga en el interior de la superficie cerrada, pues tampoco afecta al número de líneas de campo que atraviesan la superficie.
  • Las cargas exteriores no contribuyen al flujo eléctrico: las mismas líneas de campo que entran también son las que salen, por lo que el número neto de líneas de campo que la atraviesan es cero.

280px-GaussLaw2.svg

La ley de Gauss es una herramienta muy potente para el cálculo del flujo eléctrico y, sobre todo, para el cálculo de intensidades de campo cuando las cargas que lo crean tienen un alto grado de simetría.

Algunos ejercicios de aplicación de la ley de Gauss al campo eléctrico puedes encontrarlos aquí.

Representación del campo eléctrico: las líneas de campo

Cualquier campo de fuerzas puede representarse mediante unas líneas imaginarias tangentes al vector intensidad de campo en cada punto, denominadas líneas de campo o líneas de fuerza, que ayudan a visualizar el campo eléctrico en cada región del espacio:

lineas-campo-electrico.PNG

Representación de las líneas de campo debidas a cargas puntuales (Fuente: Wikipedia)

Como estas líneas son tangentes al campo eléctrico, se cumple:

lineas-campo

  • Las líneas de campo muestran la dirección de la fuerza ejercida sobre la carga de prueba positiva situada en cada punto del espacio.
  • Las líneas de campo se dibujan siempre saliendo de las cargas positivas y entrando en las cargas negativas. Por ello, a las cargas positivas se las considera fuentes de campo y a las negativas, sumideros de campo. Cuando tenemos una carga puntual aislada, las líneas de campo comienzan o terminan en el infinito.
  • El número de líneas de campo que atraviesan la unidad de superficie perpendicular a ellas (densidad de líneas de campo) es proporcional al módulo del campo, E. En consecuencia, el campo será más intenso cuanto más próximas estén las líneas entre sí. También implica que el número de líneas de campo que salen o entran en una determinada carga ha de ser proporcional al valor de dicha carga.
  • Las líneas de campo no pueden cortarse nunca, pues supondría la existencia de dos vectores de campo diferentes en dicho punto.

Las líneas de campo para dos cargas puntuales iguales en módulo se representarían de la siguiente manera:

lineas-campo-electrico-dos-cargas.PNG

Fuente: Wikipedia

Observa que si las cargas son distintas se pierde la simetría del campo:

lineas-campo-cargas-diferentes.png

Fuente: Wikipedia

El concepto físico de campo fue introducido por Faraday, quien utilizó las líneas de campo para hacer una representación gráfica de las fuerzas eléctricas que actúan en el espacio que rodea a un cuerpo cargado.