Las transformaciones de Lorentz

El experimento de Michelson – Morley parecía contradecir el principio de relatividad, ya que las transformaciones de Galileo no justificaban que la velocidad de la luz no variase con la posición del interferómetro. Para resolver las contradicciones la única alternativa era corregir las transformaciones de Galileo, por mucho que las dictase el sentido común.

En 1892, de manera independiente, Lorentz y Fitzgerald, ofrecieron una solución a este dilema: en su movimiento por el éter, un brazo del interferómetro se contraía en una fracción de su longitud que era exactamente la cantidad que permitía que los dos rayos llegaran simultáneamente. A partir de este supuesto se deducen las siguientes expresiones, que conocemos como transformaciones de Lorentz:

transformaciones-lorentz

sistemas-referencia

Estas expresiones se pueden reducir a las de Galileo si consideramos que la velocidad de la luz se hace infinitamente grande, es decir, que éstas son una aproximación de las de Lorentz a velocidades pequeñas.

A continuación se muestra un vídeo, elaborado por una alumna de Bachillerato, en el que compara las transformaciones de Galileo con las de Lorentz, a partir de dos problemas: en el primero ambas transformaciones conducen a resultados equivalentes, pero en el segundo se comprueba cómo las transformaciones de Galileo dejan de ser válidas cuando trabajamos con velocidades próximas a las de la luz:

Entonces, ¿cómo afectan las transformaciones de Lorentz a la medida del tiempo y de la longitud a velocidades próximas a c?

El principio de relatividad de Galileo

Un principio de relatividad es un enunciado que establece con respecto a qué sistemas de referencia las leyes de la Física tienen exactamente la misma forma, es decir, son invariantes.

Según el principio de la relatividad de Galileo las leyes de la mecánica son invariantes respecto de todos los sistemas de referencia que se muevan unos con respecto a otros con movimiento rectilíneo y uniforme (sistemas inerciales).

Dados dos sistemas de referencia inerciales, uno con origen en O en el que las coordenadas de un punto dado son (x,y,z), y otro con origen en O’ que se mueve a lo largo del eje X con velocidad relativa v en el que las coordenadas del mismo punto son (x’, y’, z’), las expresiones que nos permiten relacionar las mediciones realizadas en ambos sistemas son las denominadas transformaciones de Galileo:

transformaciones-Galileo

 

Las transformaciones de Galileo son consistentes con la noción intuitiva de espacio y tiempo, pero vamos a ver que entran en serias contradicciones cuando son aplicadas a las ondas electromagnéticas.

Las ecuaciones de la dinámica de Newton incluyen las aceleraciones de los cuerpos, así que son “ciegas” a la velocidad: la transformación de Galileo deja intactas las ecuaciones de la dinámica. Por lo que sólo podemos hablar de movimientos relativos, es decir, no puede detectarse el movimiento absoluto.

Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell presentan una simetría diferente y no se muestran invariantes frente a las transformaciones de Galileo, es decir, no se muestran “ciegas” a la velocidad y, entonces, el movimiento relativo podría detectarse a partir de ellas. Este hecho supuso un duro golpe para la física clásica de finales del siglo XIX, pues se había comprobado que las ecuaciones de Maxwell explicaban igualmente bien los fenómenos tanto en sistemas de referencia en reposo, como en sistemas de referencia en movimiento uniforme.

El experimento de Michelson – Morley parecía contradecir el principio de relatividad: las transformaciones de Galileo no justificaban que la velocidad de la luz no variase con la posición del interferómetro. Para resolver las contradicciones la única alternativa era corregir las transformaciones de Galileo, por mucho que las dictase el sentido común. Y así lo hicieron Lorentz y Fitzgerald.

El experimento de Michelson–Morley

michelson-morley

La teoría electromagnética de Maxwell demostraba que la luz era una onda electromagnética, pero para comprender su movimiento ondulatorio los físicos de finales del siglo XIX se veían condicionados a suponer la existencia del éter, un medio elástico que llenaba todo el espacio y que permitiría la propagación de la luz a través de él.

De modo que el éter rodeaba todo a nuestro alrededor, y no sólo la luz viajaba en su seno, sino que incluso la Tierra se desplazaba a través de él por el espacio.

La Tierra a través del éter

Si nuestro planeta se mueve en el seno del éter en reposo y la luz viaja a una velocidad constante respecto al éter, podríamos pensar que si se mide la velocidad de la luz (respecto a la Tierra) cuando ésta se mueve en la misma dirección y sentido del movimiento del planeta resultaría una velocidad inferior que cuando se mide en sentido contrario.

Podemos imaginarnos esta situación si consideramos el movimiento de dos nadadores que parten del mismo punto de un río. Ambos nadan a la misma velocidad y recorren la misma distancia de ida y vuelta, pero uno de ellos lo hace en dirección perpendicular a la corriente y el otro lo hace a contracorriente:

nadador-experimento-michelson

El primer nadador tarda menos en recorrer la misma distancia, ya que tanto el punto de referencia como él se ven arrastrados de la misma manera por la corriente, por lo que ésta no afecta a su movimiento. Sin embargo, el segundo llegará más tarde, pues la corriente se opone a su movimiento.

Cuanto mayor sea la velocidad de la corriente mayor será el tiempo que emplea en recorrer la misma distancia. Así, la velocidad de la corriente podría determinarse a partir de la diferencia de tiempos entre el primer y el segundo nadador.

Al igual que un nadador contracorriente es frenado por el arrastre del río, un haz de luz viajando en la misma dirección que se movía la Tierra en torno al Sol resultaría frenado por el “viento del éter”.

Michelson pensó que si en lugar de nadadores, considerásemos dos haces de luz que se desplazan perpendicularmente, uno en la misma dirección que el movimiento de la Tierra respecto al éter y otro de manera perpendicular a éste, deberíamos notar una pequeña diferencia (la luz se mueve diez veces más rápido que la Tierra) entre ambos movimientos, es decir, que la luz se movería con diferente velocidad dependiendo de la dirección en la que se propague.

El experimento de Michelson y Morley

Albert Michelson era un científico obsesionado con la precisión. Ya en 1879 midió la velocidad de la luz obteniendo el valor de 299.940 kilómetros por segundo. Para poder medir la velocidad de la Tierra con respecto al éter, Michelson diseñó en 1881 un aparato denominado interferómetro:

Michelson_Morley

Estuvo perfeccionándolo durante años y, con la ayuda de Morley, en 1887, llevó a cabo el siguiente experimento:

experimento-michelson-morley

El planteamiento es el siguiente. La luz procedente de una fuente incide sobre un espejo semitransparente A, que en parte se refleja y en parte se transmite. El haz reflejado llega hasta el espejo M2 y vuelve hasta el punto de observación O donde miramos con nuestro ojo. El haz transmitido viaja hacia el espejo M1 pasando a través de una placa de vidrio B y vuelve de nuevo hacia el espejo semitransparente y más tarde al ojo situado en O. La placa B que tiene el mismo espesor que el espejo semitransparente es para garantizar que los dos haces 1 y 2 atraviesen el mismo espesor de vidrio. Cuando los dos haces se junten en O formarán un diagrama de interferencias. Si los dos haces se recombinan en fase, la intensidad de la luz aumentará (interferencia constructiva). Si por el contrario los haces se recombinan con fase opuesta (interferencia destructiva) la intensidad disminuirá llegando incluso a producirse una franja oscura.

Durante el experimento el interferómetro giraba lentamente mientras Michelson, sin tocar el instrumento, leía y Morley anotaba las lecturas de las franjas de interferencia. Uno de los haces, el que viaja en la dirección del desplazamiento de la Tierra, debería sufrir el arrastre del éter y llegar más tarde al punto de encuentro, perdiendo la sincronía con el otro haz. Sin embargo, lo que encontraron fue inesperado: se halló un perfecto acuerdo entre ambos, para cualquier orientación del interferómetro las franjas de interferencias permanecían, sin desplazarse, en la misma posición:

michelson-morley_interferometer

La velocidad de los haces de luz era la misma en cualquier dirección (observa esta simulación). A pesar del cuidadoso esmero con que se realizaron los experimentos, el movimiento de la Tierra respecto al éter no pudo ser detectado.

Esto planteaba un importante dilema: o bien el éter no existe, y por eso no se puede detectar el movimiento de ningún cuerpo respecto a él, o bien existe y los cuerpos se mueven en su seno, pero hay ciertos mecanismos de compensación que anulan los efectos de este movimiento.

¿Cuál fue la respuesta de la ciencia a este experimento? ¿Influyó en el desarrollo de la teoría de la relatividad?