El GPS y la relatividad

El Sistema de Posicionamiento Global o GPS (Global Positioning System) se ha convertido en una herramienta indispensable cuando viajamos, pues determina con gran precisión nuestra posición y permite que los dispositivos de navegación guíen nuestros trayectos.

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El funcionamiento de este sistema requiere:

  • Un total de 24 satélites que orbitan la Tierra a una altura aproximada de 20.200 km, que se mueven a unos 4 km/s o 14.000 km/h (su periodo es de 12 horas)
  • Un conjunto de estaciones terrestres de seguimiento y control, distribuidas por todo el mundo.
  • Los receptores de GPS de los usuarios.

Para determinar la posición de un receptor es necesario que reciba la señal de cuatro satélites distintos. La información básica que permite realizar este posicionamiento es el tiempo que tardan las señales en recorrer la distancia entre cada satélite y el receptor, por lo que resulta fundamental que los relojes sean extremadamente precisos (lo que es posible usando relojes atómicos) y que todos ellos estén sincronizados.

El centro de control debe corregir las diferentes fuentes de error que pueden afectar a las mediciones: estado de los relojes, alteraciones causadas por la atmósfera, errores en los parámetros orbitales… Pero también resulta fundamental, para asegurar la precisión, tener en cuenta los efectos relativistas sobre el sistema:

TiempoOrbital«TiempoOrbital» de Heriberto Arribas Abato - Trabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons - httpscommons.wikimedia.orgwikiFileTiempoOrbital.png#mediaFileTiempoOrbital.png

  • El efecto de la relatividad especial, debido a la velocidad del satélite respecto al receptor, atrasa los satélites 7’6 μs al día.
  • El efecto de la relatividad general, por la diferencia en el potencial gravitatorio entre el satélite y el receptor, adelanta los satélites 45’7 μs diarios.

Por tanto, si tenemos en cuenta ambos efectos, resulta que los relojes de los GPS se adelantan unas 38 millonésimas de segundo por día, que induciría un error de 11’4 km en la medida de distancias.

La necesidad de calibrar los relojes para compensar este desfase constituye, al mismo tiempo, una aplicación y una confirmación de la teoría de la relatividad.

 

Las paradojas de la relatividad

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Pocos científicos han sabido sacarle tanto partido a los experimentos mentales como Albert Einstein. Algunos de ellos, formulados como paradojas, siguen sirviendo de ejemplo para explicar los entresijos de la teoría de la relatividad y mostrar sus sorprendentes consecuencias.

Paradoja de los gemelos

Aunque Einstein la formuló usando relojes (paradoja de los relojes), hoy en día es más conocida la versión de los gemelos, que suele plantearse más o menos así:

Pedro y Enrique son dos hermanos gemelos. Pedro es astronauta y emprende un viaje a Próxima Centauri, la estrella más cercana al Sistema Solar, que se encuentra a unos 4 años luz de nosotros. Enrique se quedará en la Tierra esperando a su gemelo. A su llegada, ¿cuál de ellos habrá envejecido más?

Teniendo en cuenta la teoría de la relatividad, para Enrique, que se ha quedado en la Tierra, la enorme velocidad de la nave habrá provocado una dilatación del tiempo, de manera que su hermano Pedro habrá envejecido menos que él. Sin embargo, la cosa cambia desde el punto de vista del astronauta: según Pedro, es Enrique, en la Tierra, el que se mueve a grandes velocidades y para él habrá pasado menos tiempo. He aquí la paradoja: ¡para el gemelo que se queda en la Tierra, el gemelo astronauta envejece menos, mientras que para éste es al contrario!

Supongamos que Pedro viaja a una velocidad que es el 80% de la velocidad de la luz. Como la estrella se encuentra a unos 4 años luz de la Tierra, Enrique esperará 10 años a que vuelva su hermano (5 años en ir y otros 5 en volver). Sin embargo, para Pedro, debido a su velocidad, habrán transcurrido 6 años (3 de ida y 3 de vuelta). Ahora bien, si observamos desde la nave, Pedro no se ve en movimiento, sino que para él es la Tierra la que se mueve a gran velocidad y, por tanto, es Enrique el que está afectado por la dilatación temporal (en lugar de 6 años, para Enrique transcurren 3’6 años). ¡Ambos deberían ser más jóvenes que su hermano gemelo! ¿Cuál de las dos versiones es la correcta? Y si un observador tiene preferencia sobre otro, ¿no se contradice entonces el primer postulado de la teoría de la relatividad? 

Aquí es donde la mayoría de las veces se mete la pata: si intentas buscar por la red la paradoja de los gemelos, verás que en la mayoría de los sitios no se señala la paradoja con claridad. Suele ofrecerse de inmediato una respuesta, y no se incide en el problema de fondo. Algo que a Einstein le llevó bastante tiempo resolver.

Sin entrar en el rigor matemático, podemos decir que la situación que plantea este problema no es simétrica. Hay un detalle que hemos pasado por alto: Enrique mantiene su marco de referencia inercial en todo momento, pero Pedro no. En el viaje de ida y vuelta de la nave se están cambiando los marcos de referencia. No hay una preferencia por uno u otro marco de referencia, sino que es el de el gemelo en la Tierra el único que tiene validez. La conclusión es que Enrique tiene razón y Pedro será cuatro años más joven que él cuando regrese.

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Paradoja de la pértiga y el granero

Aunque la paradoja de los gemelos es la más conocida, no es la única. Vamos a plantear la siguiente:

Supongamos que hay un granero de 10 metros de largo, que tiene una puerta de entrada y otra en el extremo opuesto, inicialmente abiertas. Un observador situado fuera controla un dispositivo que permite cerrar y abrir estas puertas de manera instantánea y simultánea. Un corredor que se mueve a una velocidad de 240.000 km/s se dirige hacia el granero, cargando una pértiga, en posición horizontal, de 10 metros de longitud. En el momento en que el corredor entra con la pértiga en el granero el observador cierra y abre las puertas. ¿Pasará con seguridad el corredor con su pértiga a través del granero? 

Como el corredor se mueve con una velocidad que equivale a un 80% de la velocidad de la luz, desde el punto de vista del observador externo la pértiga experimenta una contracción en su longitud: para él mide 6 metros, por lo que puede ser encerrada sin problemas en el granero.

La paradoja surge cuando consideramos el punto de vista del corredor: para él, el granero es el que se contrae, y la longitud que mide es de 6 metros. Sin embargo, la pértiga comparte el marco de referencia del corredor, y mantiene su longitud propia, de 15 metros. ¿sería posible, entonces, su paso a través del granero?

La solución a esta cuestión está relacionada con la simultaneidad de sucesos. Para el observador de fuera la pértiga entra y sale sin problemas del granero y las dos puertas se cierran y se abren de manera simultánea. Sin embargo, para el corredor en movimiento, las puertas están en diferentes posiciones y no se mueven simultáneamente: la puerta trasera se cierra y se abre primero, de manera que la pértiga comienza a salir y la puerta delantera se cierra después de que el extremo de la pértiga la haya cruzado.

Los muones y la dilatación del tiempo

La dilatación del tiempo que predice la teoría de la relatividad especial es un fenómeno que se puede verificar con diversos experimentos. El primero de ellos fue realizado por Rossi y Hall en 1941, utilizando unas partículas, llamadas muones, descubiertas en 1936, que aparecen en la atmósfera cuando sobre ella inciden los rayos cósmicos de alta energía procedentes del exterior.

¿Qué son los muones?

Según la física de partículas la materia está formada por unas partículas que denominamos fermiones, entre las que distinguimos dos tipos, los quarks y los leptones. Entre los leptones encontramos el electrón, el muón y el tauón y sus tres neutrinos (electrónico, muónico y tauónico), además de sus correspondientes antipartículas (el positrón, el antimuón, el antitauón y tres antineutrinos).

Los muones son, por tanto, leptones “de segunda generación” con carga negativa, y con una masa unas 207 veces mayor que la del electrón. Su símbolo es µ. Se pueden producir muones por la colisión de la radiación cósmica con átomos a grandes alturas de la atmósfera:

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La desintegración de los muones

Los muones  al desintegrarse generan, normalmente,  un electrón, un antineutrino electrónico y un neutrino muónico:

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Cuando se estudia la desintegración muónica (decaimiento muónico), el tiempo de vida medio es de 2’2 μs. La velocidad a la que se mueven en la atmósfera es cercana a la de la luz, por lo que pueden desplazarse unos 660 metros antes de desintegrarse. En consecuencia, es improbable que lleguen a la superficie terrestre desde la grandes alturas de la atmósfera en donde se producen.

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En el experimento original llevado a cabo por Rossi y Hall, en 1941, se registraron un promedio de 563 muones/hora a una altura de 2.000 metros, y se detectaron unos 400 muones/hora a nivel del mar. Teniendo en cuenta el tiempo de vida media y la velocidad de los muones se esperaban unos 25 muones/hora en la superficie terrestre. ¡Se encontraron muchísimos más muones de los esperados!

El fenómeno de la dilatación del tiempo explica este efecto. Mientras que para un observador ligado al muón el tiempo de vida media es un tiempo propio, para un observador en la superficie terrestre el tiempo entre la formación y la desintegración del muón será mayor. Suponiendo una velocidad de 0’995·c, el tiempo se multiplica por 10:

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En estas condiciones, la distancia que son capaces de recorrer antes de desintegrarse resulta ser de 6.600 metros, lo que significa que, bajo los supuestos relativistas, la mayor parte de los muones sí pueden alcanzar la superficie terrestre antes de que decaigan en otras partículas.

Experimentos más sofisticados y precisos llevados a cabo con posterioridad (alguno de ellos en el CERN) confirmaron este experimento y llegaron a determinar que la vida media de los muones en movimiento llegaba a ser aproximadamente 30 veces más que la de un muon inmóvil.

La sorprendente dilatación del tiempo predicha por la relatividad queda confirmada.

La Relatividad General cumple 100 años

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El 25 de noviembre de 1915, en plena guerra mundial, Albert Einstein presentó, en una histórica conferencia ante la Academia Prusiana de Ciencias, su Teoría de la Relatividad General, que era una ampliación de la Teoría de la Relatividad Especial o Restringida que él mismo elaboró 10 años antes.

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De la Relatividad Especial a la Relatividad General

La teoría de la relatividad especial postulaba que las leyes de física eran siempre las mismas sea cual sea el sistema de referencia considerado, siempre y cuando éste sea inercial (un sistema de referencia inercial es aquel que se encuentra en reposo respecto a otro sistema de referencia, o bien posee un movimiento rectilíneo uniforme respecto a otro que está en reposo).

Una consecuencia directa de lo anterior, y que Einstein elevaba a la categoría de postulado, era que la velocidad de la luz siempre sería la misma, independientemente del sistema de referencia inercial que se escoja para medirla. Esto coincidía con los experimentos, pero tenía unas implicaciones sorprendentes y nada intuitivas: que un observador en reposo mida la misma velocidad de la luz que otro observador en movimiento, conlleva que las medidas de espacio y tiempo serán diferentes para ambos observadores. El espacio y el tiempo no son absolutos, como se creía hasta entonces (y dictaba el “sentido común”), sino que son relativos al observador.

Einstein intentó extender la validez de las leyes de la física a todos los sistemas de referencia, no sólo a los inerciales sino también a los no inerciales, es decir, aquellos que se mueven con una determinada aceleración. En uno de sus famosos experimentos mentales, Einstein se imaginó a un hombre en caída libre dentro de un ascensor y se dio cuenta de que éste no se daría cuenta de su movimiento, ya que no notaría ninguna fuerza y todo a su alrededor estaría cayendo a la misma velocidad. ¡Un observador en caída libre se encontraría en una situación de “ingravidez”! Además, pensó que un astronauta en una nave acelerada notaría una fuerza que tira de él, igual que nosotros somos capaces de apreciar la atracción de la gravedad. Es decir, ¡la aceleración y la gravedad son equivalentes!

La teoría de la relatividad general es, por tanto, una teoría de la gravitación. Einstein integra el espacio y el tiempo, hasta ese momento considerados independientes, en una única estructura tetradimensional, que se deforma en presencia de una masa. Así, las trayectorias de los cuerpos, por ejemplo de los planetas, son debidas a la “curvatura” del espacio-tiempo; son consecuencia de su deformación geométrica.

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La gravitación universal de Newton era capaz de describir los movimientos planetarios pero no explicaba la naturaleza misma de la gravedad. Einstein ofreció una explicación (la mejor hasta la fecha) de esta fuerza y, además, nos permitió entender la igualdad entre masa inercial (esa masa que se resiste a abandonar el estado de reposo o movimiento uniforme) y masa gravitatoria (esa masa que se ve afectada por un campo gravitatorio):

La masa le dice al espacio cómo curvarse, y el espacio le dice a la masa cómo moverse” (John Wheeler)

Predicciones, pruebas y consecuencias de la Relatividad General

Esta teoría permitía predecir el movimiento de los planetas de una manera más exacta que la teoría de Newton, ya que era capaz de explicar las irregularidades observadas en las órbitas de algunos planetas (el desplazamiento de su perihelio), especialmente apreciable en aquellos más próximos al Sol, como Mercurio.

Otra de sus asombrosas predicciones era que la curvatura del espacio-tiempo también afectaría al movimiento de la luz. Este hecho pudo ser comprobado en 1919, mediante las observaciones que realizó Arthur Eddington durante un eclipse de Sol, con las que, efectivamente, se demostró que esa desviación de la luz se producía. Quedaba inaugurada la cosmología relativista:

REVOLUCIÓN EN CIENCIA.  Nueva teoría del Universo. Ideas newtonianas desbancadas” (The Times. Londres. 7/11/1919)

 

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Noticia publicada en el Illustrated London News el 22 de noviembre de 1919

 

Además, de las ecuaciones de la relatividad se desprende que el Universo no es estático y que, dadas las suposiciones iniciales, éste se encuentra en expansión. Aunque esto no convencía a Einstein (que introdujo arbitrariamente una constante cosmológica en las ecuaciones para contrarrestar esa expansión), fue confirmado por Hubble a finales de los años veinte (lo que obligó a Einstein a retractarse y reconocer que “había sido el mayor error de su carrera”).

¡Pero aún hay más! La teoría de la relatividad general permite entender la teoría del big bang o la formación de estrellas de neutrones (púlsares) y agujeros negros, que parece ser que se encuentran en el centro de la mayoría de las galaxias, incluida la Vía Láctea. Además, predice la existencia de ondas gravitacionales (tan débiles que sólo han sido detectadas de forma indirecta, pero nunca directamente) que se propagan a la velocidad de la luz (¡el efecto de la gravedad no es instantáneo!).

¿Y en nuestro día a día? Evidentemente también: aunque la formulación de Newton nos sirve como aproximación, ¡la gravedad es algo cotidiano! Sin embargo, sin la relatividad, el posicionamiento de los satélites o el funcionamiento del GPS acumularían imprecisiones que, con el tiempo, provocarían errores de varios kilómetros en la determinación de la posición.

Retos actuales: la unificación de las fuerzas

La relatividad especial y la teoría cuántica se pueden integrar en un única teoría, la electrodinámica cuántica. Sin embargo, todos los intentos de incluir también la relatividad general han fracasado. La gravedad se resiste a la unificación.

Las propuestas más destacadas al respecto son:

  • La “teoría” de cuerdas, que parte de la física de partículas, y considera que éstas no son puntuales sino que en realidad se corresponden con determinados estados vibracionales de unas estructuras extendidas denominadas “cuerdas”. Posee una gran complejidad matemática, incorpora múltiples dimensiones, considera universos paralelos y no hace predicciones que puedan verificarse experimentalmente.
  • La “teoría” de bucles o gravedad cuántica de bucles (o lazos), que modifica la relatividad introduciendo nuevas variables, consiguiendo una cuantización de ésta. Sin embargo, no está desarrollada completamente y no incorpora la física de partículas.

¿Qué diremos de esto dentro de otros 100 años?

 

Reading: The Theory of Special Relativity

The speed of light, represented by the symbol c, is 300 000 000 m/s (meters per second) in a vacuum. If light could travel around Earth’s equator, it would make over 7 trips each second! The very great speed of light makes it dificult to measure changes in the speed of light caused by motion of frames of reference that are familiar to you on Earth.

In the early part of the 20th century, Einstein showed that light does not obey the laws of speed addition that we have seen in objects on Earth’s surface. His theory predicted that light traveled at the same speed in all frames of reference, no matter how fast the frames were moving relative to one another.

As a young clerk in the Swiss patent office, Albert Einstein postulated that the speed of light in a vacuum is the same for all observers. Einstein recognized that light and other forms of electromagnetic radiation (including x – rays, microwaves, and ultraviolet waves) could not be made to agree with the laws of relative motion seen on Earth. Einstein modified the ideas of relativity to agree with the theory of electromagnetic radiation. When he did, he uncovered consequences that have changed the outlook of not only physics but the world.

The ideas of Einstein’s Theory of Special Relativity are stated in two postulates:

  • The laws of physics are the same in all inertial frames of reference. (Remember that inertial frames of reference are those in which Newton’s First Law of Motion holds. This automatically eliminates frames of reference that are accelerating.)
  • The speed of light is a constant in all inertial frames of reference.

The first postulate adds electromagnetism to the frames of reference discussed. Its implications become clear when you begin to ask questions. Is the classroom moving or standing still? How do you know? Remember that an observer in an inertial frame of reference is sure that he or she is standing still. An observer in an airplane would be convinced that he or she is standing still and that your classroom is moving. The meaning of the first postulate is that there is no experiment you can do that will tell you who is really moving.

The second postulate, however, produces results that seem to defy common sense. You can add speeds of objects in inertial frames of reference. But you cannot add the speed of light in motion of an inertial frame of reference.

Physicists say that two events are simultaneous if a light signal from each event reaches an observer standing halfway between them at the same instant. These postulates lead to the idea that simultaneity depends on the observer. You cannot say whether two events in different places occurred at the same time unless you know the position of the observer.

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