Introducción a la teoría general de la relatividad

Einstein enuncia, en 1905, su teoría de la relatividad especial o restringida. Una teoría brillante pero limitada: sólo se puede aplicar a sistemas de referencia inerciales. Pero, ¿qué ocurre en aquellos sistemas de referencia no inerciales, es decir, acelerados?

Principio de equivalencia

En 1907, dos años después de la publicación de la teoría de la relatividad especial, Einstein se sobresaltó con un pensamiento: si una persona cae libremente, ¡no sentiría su propio peso! Esta idea la calificó posteriormente como “la más feliz” de su vida, y le llevó a formular el principio de equivalencia entre aceleración y gravedad.

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Lo dicho antes se asume perfectamente si nos imaginamos en un ascensor, al que cortamos los cables: nos encontraremos de repente en caída libre y todos los objetos que llevemos caen afectados por la misma aceleración que nosotros, por lo que no los veríamos caer, sino que veríamos como flotan en una situación de “ingravidez”.

Principio de equivalencia: Un sistema inmerso en un campo gravitatorio es localmente indistinguible de un sistema no inercial acelerado.

La consecuencia de este experimento mental fue trascendental para Einstein: ¡el principio de relatividad también es válido para movimientos acelerados!

¿Qué es la gravedad?

Einstein tardó otros ocho años en dar forma y consistencia matemática a la teoría general de la relatividad. Ésta reformulaba la gravedad basándose en una nueva noción: el espacio-tiempo se deforma y se curva en presencia de una masa, lo cual modifica las trayectorias de los objetos que se mueven en él.

La materia le dice al espacio cómo curvarse; el espacio le dice a la materia cómo moverse. [J. A. Wheeler]

Esto tiene consecuencias impresionantes, como que la luz procedente de estrellas lejanas se desviaría al pasar cerca del Sol. Este hecho pudo comprobarse experimentalmente en 1919, en una expedición organizada a tal fin durante un eclipse lunar total. La repercusión científica, mediática y social elevó a Einstein a los altares de la Física y de la cultura del siglo XX.

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En 2015, la teoría de la relatividad general cumplió ¡100 años!

El espacio-tiempo de Minkowski

La teoría de la relatividad especial fue dotada en 1907 de una estructura geométrica por Hermann Minkowski, que unificó los conceptos de espacio y tiempo en una única realidad tetradimensional, el espacio – tiempo, dando el mismo tratamiento matemático a las tres coordenadas espaciales que a la dimensión temporal (que en mecánica clásica se consideraban independientes y separadas).

En la física clásica el tiempo es independiente de la posición y del estado de movimiento del sistema de referencia. Sin embargo, la relatividad establece un continuo tetradimensional en el que cada punto, denominado suceso o evento, se describe mediante tres coordenadas espaciales y una coordenada temporal.

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Esta estructura fue adoptada por Einstein en su estudio del movimiento de los cuerpos en los campos gravitatorios, que describe en su teoría general de la relatividad.

La equivalencia entre masa y energía

Llegados a este punto, vamos a analizar el significado de la ecuación física más famosa de todos los tiempos:

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Esta será una de las pocas ocasiones en las que, en lugar de ir elaborando poco a poco la teoría desde las primeras ideas y concluir con la expresión que la describe, partiremos directamente de la ecuación, ya conocida por todos, para desentrañar su significado e implicaciones.

Masa y energía, ¿son lo mismo?

La famosa ecuación de Einstein es consecuencia de su teoría de la relatividad especial, y establece una relación de equivalencia entre masa y energía. Viene a decirnos que masa y energía son dos conceptos íntimamente relacionados que, en realidad, son dos manifestaciones distintas de una misma cosa: una pequeña cantidad de masa equivale a una cantidad enorme de energía.

Pero debemos ser cautos con esta ecuación para que no nos lleve a error. No debemos suponer que toda la masa de un cuerpo se vaya a transformar en energía, ni mucho menos pensar que una gran cantidad de energía se transforma automáticamente en masa. Afortunadamente, una chocolatina sigue teniendo unas 240 kcal (unos 1000 kJ), y no proporciona la energía que predice dicha ecuación, que ascendería a ¡3 600 000 000 000 kJ! La energía que procede de los alimentos está almacenada en determinados enlaces, pero el resto es para nosotros inaccesible, se encuentra en el interior de las moléculas y átomos. Por eso, en los procesos que afectan a la estructura atómica, en las reacciones nucleares, la energía que se libera alcanza semejante magnitud.

Conservación de la masa y la energía

El principio de relatividad exige que el principio de conservación de la energía se cumpla respecto a cualquier sistema de coordenadas. La famosa equivalencia entre masa y energía sólo es válida para el reposo, de manera que cuando la masa se mueve a una determinada velocidad, debemos incorporar el factor de Lorentz a la ecuación, obteniéndose:

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De este modo, el principio de conservación de la energía se fusiona con el principio de conservación de la masa.

Masa y energía relativistas

Cuando un cuerpo se mueve a velocidades próximas a la de la luz, la energía relativista tiende a hacerse infinita. Esto nos lleva a la conclusión de que la masa relativista se hace, entonces, infinita, y que no hay fuerza que pueda entonces acelerarla, por lo que la velocidad de la luz es un límite físico insuperable. Tiene su lógica, pues la masa se define como el cociente entre fuerza y aceleración, por lo que no es más que una medida de la resistencia de un cuerpo a aumentar su velocidad (si su velocidad aumenta, su masa también lo hace).

Sin embargo, esto nos conduce a un error común: si uno viaja a velocidades cercanas a las de la luz verá como su masa aumenta. Esto no es cierto: ¡la masa no varía! Se puede entender que lo que aumenta con la velocidad es la masa relativista, pero el significado físico que podemos darle no es el mismo que el de la masa en reposo, o masa inercial, con la que estamos acostumbrados a trabajar. Actualmente, muchos libros y autores recomiendan no utilizar el calificativo relativista, y hablan de energía total y masa invariante, para incidir en que el valor de m0 es el mismo en cualquier sistema de referencia, mientras que el valor de E depende del sistema elegido.

Además, conviene recordar que la velocidad y la fuerza son magnitudes vectoriales. Eso quiere decir que si aplicamos una fuerza a un cuerpo que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz, en la misma dirección del movimiento, parecerá que la masa es la masa relativista (hay que aplicar una enorme fuerza para provocar una pequeña aceleración). Pero si aplicamos una fuerza perpendicular al movimiento, el factor de Lorentz será uno (puesto que la velocidad en esa dirección será cero), y por tanto, percibiremos una masa muy diferente (la masa a la que estamos acostumbrados). Es decir, la masa variaría dependiendo, no sólo de la velocidad, sino de la dirección de la fuerza aplicada. Este pequeño razonamiento descarta definitivamente que la masa relativista pueda ser algún tipo de concepto físico real.

Energía y cantidad de movimiento

Al igual que hemos visto en las anteriores magnitudes, la cantidad de movimiento de un cuerpo se define, en términos relativistas, como:

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La cantidad de movimiento se relaciona con la energía mediante la siguiente ecuación:

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Una de las implicaciones de esta expresión y que suele generar dudas, es que nos permite justificar la energía de partículas sin masa, como los fotones, para las cuales el segundo término se anula, pero no el primero, de manera que su energía es E = pc.

La teoría de la relatividad especial

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El esfuerzo de Einstein por conciliar el principio de relatividad y la electrodinámica le llevó a elaborar, en 1905 (en su artículo Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento), una teoría sustentada por dos postulados fundamentales:

Primer postulado. Todas las leyes de la Física son invariantes respecto a las transformaciones entre sistemas de referencia inerciales.

Segundo postulado. La velocidad de la luz en el vacío es siempre la misma para cualquier sistema de referencia inercial.

El primero se conoce como principio de la relatividad especial, que extiende el principio de la relatividad a todas las leyes físicas, no sólo a las de la mecánica. Su consecuencia más inmediata es que obliga a desterrar la idea de un movimiento absoluto. Sólo pueden observarse en la naturaleza los movimientos relativos de unos sistemas respecto a otros.

El segundo principio, el de la constancia de la velocidad de la luz (en el vacío es 299 792458 m/s), se desprende directamente de las ecuaciones de Maxwell. Destierra la idea del éter, pues la luz no podría tener la misma velocidad con respecto a un sistema de referencia en el cual el éter estuviera en reposo, que respecto de otro en el que estuviera en movimiento.

Los postulados de Einstein distaban de ser, como los de Euclides, suposiciones que, de puro obvias, se aceptaban sin rechistar. Su autoridad se basaba en evidencias experimentales, y sus implicaciones comunes resultan sorprendentes y contradicen lo que normalmente denominamos sentido común.

Simultaneidad de sucesos

Hasta la aparición de la teoría especial de la relatividad nadie había pensado que pudiera existir ambigüedad en la afirmación de que dos sucesos en lugares diferentes sucedían al mismo tiempo. Se podía admitir que si los lugares estaban muy alejados hubiese dificultad en averiguar si los dos sucesos eran simultáneos. Pero todos creían que el significado de la cuestión era muy concreto. Resultaba, sin embargo, que era un error. ¿Cómo decidiríamos nosotros si dos hechos en diferentes lugares fueron simultáneos? Uno diría, naturalmente: son simultáneos si son vistos simultáneamente por una persona que está situada a igual distancia de los dos.

Supongamos que hay dos estrellas gemelas en el espacio y un astronauta está viajando a lo largo de la línea que va de una a otra. Nosotros estamos en un punto de la mediatriz de esa línea, por lo que nos separa la misma distancia de ambas. Cuando el astronauta está a mitad de camino, de repente, las dos estrellan explotan. Como nosotros estamos a la misma distancia veremos a la vez la luz procedente de las dos estrellas, es decir, que para nosotros las dos han explotado al mismo tiempo, han sido dos sucesos simultáneos. Sin embargo, como el astronauta está viajando de la primera estrella a la segunda, percibirá primero la luz que procede de ésta, por lo que para él las dos explosiones no se han producido simultáneamente.

Según esto, si dos sucesos son simultáneos en un sistema de referencia, no lo serán en cualquier otro sistema que se mueva respecto al primero. Es decir, el tiempo no transcurre de la misma manera en todos los sistemas de referencia inerciales. Incluso, puede ocurrir que para un observador el orden de los sucesos ¡esté invertido! con respecto al de otro observador (siempre y cuando éstos sean independientes, pues si no se violaría el principio de causalidad, según el cual la causa siempre precede al efecto).

Dilatación del tiempo

Como se acaba de ver, el tiempo no es absoluto, sino que depende del sistema de referencia. A partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz se puede demostrar que el intervalo de tiempo, medido en un sistema de referencia respecto al cual el punto en el que ocurren los acontecimientos se está moviendo, es mayor que respecto a un sistema de referencia ligado a dicho punto:

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Este crecimiento se denomina dilatación del tiempo y el intervalo de tiempo en el sistema ligado al punto móvil (Δt0) se llama tiempo propio. Los efectos relativistas sólo son observables para velocidades extremadamente altas: para detectar diferencias del 5 % entre medidas realizadas por dos observadores, uno en reposo y otro en movimiento, haría falta que éste se moviese a una velocidad de más de 90.000 km/s.

Este extraño comportamiento ha sido comprobado en numerosos experimentos posteriores (como el llevado a cabo por Rossi y Hall en 1941) y es la clave para resolver las aparentes paradojas que se plantean en la relatividad (la más conocida es la paradoja de los gemelos).

La contracción de la longitud

Un fenómeno estrechamente relacionado con la dilatación del tiempo es la contracción de longitudes. La longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se encuentra en reposo se denomina longitud propia (l0). En un sistema de referencia en el que el objeto se está movimiento, la longitud medida es más corta que su longitud propia. Al igual que antes, se puede deducir, entonces:

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Esta expresión se conoce como contracción de Lorentz – Fitzgerald, ya que ellos la habían planteado previamente como solución al experimento de Michelson – Morley.

El valor heurístico de la teoría de la relatividad

La experiencia había llevado a la convicción de que el principio de la relatividad era válido y, por otro lado, que la velocidad de propagación de la luz era una constante. La unión de estos dos postulados nos permitió concluir que, cuando pasamos de un sistema de referencia S definido por las variables x, y, z y t a otro sistema de coordenadas S’ definido por las variables x’, y’, z’ y t’, todas las leyes de la naturaleza deben comportarse de la misma manera, y la relación matemática que permite relacionar estos dos sistemas de variables viene dada por las transformaciones de Lorentz.

Se trata de una condición matemática precisa que la teoría de la relatividad prescribe a las leyes naturales, con lo cual se convierte en un valioso instrumento heurístico para la búsqueda de leyes generales de la naturaleza. Si se encontrase una ley general de la naturaleza que no cumpliera esa condición, quedaría refutado por lo menos uno de los dos supuestos fundamentales de la teoría.

Las transformaciones de Lorentz

El experimento de Michelson – Morley parecía contradecir el principio de relatividad, ya que las transformaciones de Galileo no justificaban que la velocidad de la luz no variase con la posición del interferómetro. Para resolver las contradicciones la única alternativa era corregir las transformaciones de Galileo, por mucho que las dictase el sentido común.

En 1892, de manera independiente, Lorentz y Fitzgerald, ofrecieron una solución a este dilema: en su movimiento por el éter, un brazo del interferómetro se contraía en una fracción de su longitud que era exactamente la cantidad que permitía que los dos rayos llegaran simultáneamente. A partir de este supuesto se deducen las siguientes expresiones, que conocemos como transformaciones de Lorentz:

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Estas expresiones se pueden reducir a las de Galileo si consideramos que la velocidad de la luz se hace infinitamente grande, es decir, que éstas son una aproximación de las de Lorentz a velocidades pequeñas.

A continuación se muestra un vídeo, elaborado por una alumna de Bachillerato, en el que compara las transformaciones de Galileo con las de Lorentz, a partir de dos problemas: en el primero ambas transformaciones conducen a resultados equivalentes, pero en el segundo se comprueba cómo las transformaciones de Galileo dejan de ser válidas cuando trabajamos con velocidades próximas a las de la luz:

Entonces, ¿cómo afectan las transformaciones de Lorentz a la medida del tiempo y de la longitud a velocidades próximas a c?